Advices for students

이 페이지는 몇몇 학생분들과 상담을 하는 과정에서 생긴, 수학을 시작하는 학생들에게 제가 해주고 싶은 이야기들을 조금씩 모아놓는 공간입니다. 
당연히 저의 개인적인 생각들의 모음이니 정답이라고 할 수 없습니다. 다른 교수님들의 조언도 꼭 받아보시고 스스로 많은 생각들을 해보시길 바랍니다. 
질문의 목록이나 그 답변의 내용은 시간의 흐름에 따라, 또 제 생각의 변화에 따라 천천히 업데이트가 될 예정입니다. 
마지막 업데이트 (2018.6.25)

1. 막연히 수학자가 되고 싶은 마음이 있는 학생들에게 

수학은 기본적으로 우리가 사고하는 방식에 관한 학문입니다. 무언가 주어진 대상을 어떻게 이해할 것인가, 그리고 어떻게 이해하는 것이 그 대상을 넘어서서 더 많은 것을 이해하는데 도움이 될 것인가와 같은 것들을 고민하는 과정이지요. 다만 세상의 모든 것을 대상으로 하기는 어려우니 소위 '수학적으로 정의된' 대상들을 중심으로 이 과정을 하게 됩니다. 
무언가를 이해하는 방법을 새로 만들거나 개선하면서 인간이 이해하는 수학의 체계를 넓히는 것이 수학 연구라고 할 수가 있습니다. 
그렇다면 지금까지 학교에서 '수학 과목들'에서 배운 내용은 무엇일까요? 수학이라는 사고 체계는 오랜 시간 동안 추상화와 일반화를 거치면서 일상의 언어로 표현하려면 너무 복잡하거나 중요한 핵심들이 상당히 생략되거나 하는 부작용이 있는 경우가 많습니다. 때문에 이 사고 체계 내에서 무언가를 하기 위해서는 수학자의 언어를 배우고 그 언어로 소통하는 것을 배우는 과정이 필요합니다. 수학 수업은 대부분 이러한 '언어'를 배우는 과정입니다. 그리고 그 과정이 결코 짧지도, 쉽지도 않지요. 

수년간 학교에서 영어 수업을 듣고, 보는 시험마다 백점을 받았다고 해서 외국인을 만나서 영어로 쉽게 대화가 가능하거나 영어로 무언가 생각을 정리해서 좋은 글을 쓸 수 있는 것이 아니라는 것은 경험을 통해서 이미 알고 있을 것입니다. 수학도 마찬가지입니다. 수학 수업들을 통해 배운 내용을 잘 숙지하고, 주어진 문제를 잘 풀더라도 실제로 수학을 바로 잘하게 되는 것은 아닙니다. 제가 이미 말했듯 수학을 배우는 과정은 언어를 배우는 과정과 비슷하게 생각하면 이해가 쉽습니다. 하지만 많은 경우 학창 시절 어려운 수학 문제를 놀라울 정도로 잘 풀던 학생들은 자신들이 수학 연구를 해도 엄청나게 잘 할것이라고 쉽게 생각하고는 합니다. 또 반대로 수학 문제를 빨리 못 풀거나 수업을 따라갈 때 어려움을 느꼈던 학생들은 수학 연구와 나는 거리가 먼 것이라고 일찍부터 단정 짓기도 하지요. 하지만 주어진 학습환경에서 언어의 틀을 배우는 것과 그것을 활용하여 무언가 새로운 것을 하는데에는 꽤 큰 간극이 있습니다. 

그래서 일단 어느 정도 기본적인 수학의 언어를 습득하고 나면 스스로 무언가를 생각해보고 그것을 수학의 언어로 표현해보는 과정을 경험해보는 것이 좋습니다. 그냥 계속해서 '언어'만을 배우다보면 동기부여도 잘 안되고 흥미를 잃기도 쉽지요. 또 연구가 나한테 맞는지도 알기 어렵구요. 관성에 이끌려 대학원에 가고 처음 경험해 보는 연구가 어려운데 지금까지의 시간 투자가 아까워서 억지로 몇 년을 버티며 졸업을 하는 것보다는, 미리 시간을 내서 '언어를 배우는 단계의 뒤'에 무엇이 있는지 알아보는 것이 굉장히 가치있는 경험일 것입니다. 

2. 교수님과 개별연구 및 졸업연구 하기 (대학원생이라면 지도교수 정하기) 

그런데 '수학 연구'를 경험하려면 어떻게 해야할까요? 아무래도 교수님들의 도움을 받을 수 밖에 없겠지요. 그런데 여기서 문제가 발생합니다. 앞서 말한 '어느 정도 기본적인 수학의 언어'라는 것이 생각보다 꽤 폭넓은 범위를 다루고 있는데요, 이것을 충분히 습득하지 않고 교수님과 개별적으로 연구를 시작하는 것은, 아니 그보다 어떤 교수님과 개별적으로 연구할 지를 정하는 것조차 사실 꽤 어려운 일입니다. '왠만한 학부과목을 다 듣기 전에는 찾아오지마세요'라는 말이 아닙니다. 개별연구를 하기 전에 미리 교수님들을 찾아뵙고, 연구분야에 관하여 질문을 하여 그 분야에 내가 관심이 있는지 생각을 해보고, 관심이 있다면 어떤 과목들을 들어야하는지 어떤 책을 읽어볼 수 있는지 조언을 구하여 따로 책도 조금 읽어보고, 연구를 하게 된다면 최소한 어떤 것들을 알아야하는지 듣고 그것들을 찾아서 스스로 공부해보는 과정이 필요하다는 말입니다. 개별연구를 이번 학기에 하려고하니 이제 처음 만나서 그런 과정들을 겪어보자고 하면 교수의 입장에서도 학생을 파악하는데만 학기의 반이 지나가버리기 쉽습니다. 연구를 경험해보기 전에 상담 등을 통해 교류를 하고 어느 정도 나와 그 분야가 맞는지를 생각해보는 시간을 가지고 해야, 한 학기 동안 최대한 알차게 보낼 수 있는데, 그런 것들을 이미 학기가 시작한 이후에 하겠다고 하면 개별연구를 통해 얻어가는 것이 크지 않겠지요. 

관심있는 분야나 교수님이 있다면, 이메일을 드리고 가끔 찾아가서 궁금한 점에서 관해서 묻기도 하고, 그 분야의 세미나에 참석하여 대략적으로 어떤 연구들이 진행되고 있는지도 살펴보는 것이 좋습니다. 이것은 대학원생들이 지도교수를 정하기 전에 거쳐야하는 과정이기도 합니다. 처음 만나서 한 시간 정도 대화해보고 이 사람과 몇 년 동안 깊은 교류를 할 수 있을 지 없을 지 어떻게 판단할 수 있겠어요? 물론 이것이 학생들 입장에서 어렵다는 것을 잘 압니다. 하지만 대부분 교수님들은 바쁘신 와중에도 시간을 할애하여 학생들과 상담하고 궁금한 점들에 답해주려는 마음을 가지고 계십니다 (그래도 불쑥 찾아가기 보다는 이메일로 미리 약속을 잡고 가는 것이 좋겠지요). 

3. 저는 수학을 잘 못하는 것 같은데요.. 

'언어'를 배우는 단계를 지나가서 정말 수학을 하다보면 깨닫는 것 중 하나가 수학이라는 것이 어떤 정해진 모양이 있는 것이 아니라는 것입니다. 수학이라는 학문을 하는 과정이 지식의 습득보다는 사고하는 영역의 확장에 가까운 것이고, 개개인의 서로 다른 사고하는 방식은 자연스럽게 서로 다른 이해하는 틀을 만들고, 그 안에서 서로 다른 수학이 이루어져 갑니다. 기존의 수학자들이 하던 수학을 잘 못한다고 해서 수학을 할 수 없는 것이 아니라, 아직 자신에게 맞는 수학을 찾지 못한 것 뿐입니다. '수학을 할 수 없는 사람이라는 것은 없다, 사람마다 잘 할 수 있는 수학이 다른 것 뿐이다'라고 말할 수 있습니다. 

여기서 오해를 하는 분들이 많은데요, 언어를 배우는 단계의 고통을 피하는 것은 답이 아닙니다. 우리가 어렸을 때 처음 언어를 습득하는 과정을 생각해보세요. 이는 단순히 어휘를 익히고 문법에 맞는 문장을 이해하고 구사할 수 있게 됨을 뜻하는 것이 아니라, 그 언어를 사용하여 사고의 도구로 활용하는 방법을 익히는 과정입니다. 지금 이 순간에도 여러분의 머릿속에서 많은 생각들을 하고 계실텐데요, 이는 '언어'라는 형식을 빌려서 구현되고 이해가 됩니다. 마치 할 줄 아는 언어가 하나도 없었다면 나는 도대체 어떻게 생각이라는 것을 하고 있고, 그것을 어떻게 받아들이고 있을지 상상이 잘 안가듯이 언어와 사고에는 밀접한 연결 관계가 있습니다. 

수학으로 와도 이것은 동일합니다. 수학의 언어를 배우는 과정에서 숨어있는 부분이 '수학이라는 체계 안에서 생각하는 방식을 훈련받는 것'이기 때문이지요. 모든 수학자는 다 다르게 사고하고 다 다른 수학을 하지만, 그 안에 모두가 공통적으로 공유하는 '약속'이 되는 체계가 있고, 그 체계를 내 사고 체계 내에 체화하는 과정이 반드시 필요한 것입니다. 이 부분은 어느 정도 인내심이 필요한 과정이고 딱히 일반적으로 제시할 수 있는 지름길이 없습니다. 이 과정에서 '어 저 친구는 공부는 하나도 안하는데 나보다 더 훨씬 빨리 잘 배우네?'하고 위화감을 조성하는 친구들이 있을 것입니다. 이것은 대체로 사실이 아닙니다. 이 훈련 과정 자체가 '사고하는 훈련'이기 때문에 그렇습니다. 어떤 사람들은 어렸을 때부터 무언가 혼자 골몰히 생각하고 논리적으로 결론을 내리는 것에 다른 사람들보다 관심이 많습니다. 이런 사람들은 그냥 자라오면서 그 사고의 훈련을 자연스럽게 매일매일 해온 사람들입니다. 즉, 총 훈련량이 훨씬 더 많기 때문에 지금 이 순간 보면 나보다 훨씬 짧은 시간 내에 훨씬 빨리 배우고 있는 것 뿐입니다. 

그래서 일단 이러한 기본적인 수학적인 사고체계라는 것을 익히고 난 다음에는 자유롭게 여러 가지 수학 분야를 접하면서 나에게 맞는 연구 주제를 찾으면 됩니다. 여기서 운이 많이 필요한 것이 사실인데, 왜냐하면 좋은 멘토(대학원생이라면 지도교수)를 만나는 것이 이 과정의 성패에 매우 큰 영향을 끼치기 때문이지요. 좋은 멘토를 찾는 것에는 운이 많이 필요하지만 2번 항목에서 썼듯이 스스로 할 수 있는 노력도 있습니다. 여기서 잠깐 강조하고 지나가고 싶은 것은, 결국 지도교수는 수년간 수학적으로 성장하는 동안 지속적으로 도움을 받아야 되는 사람입니다. 때문에 무엇보다 자주 보면서 대화를 나누고 함께 공부하는 과정이 인간적으로 힘들 것 같지 않은 사람인지가 다른 어떤 것보다 중요한 요소 중 하나라고 생각합니다. 그래서 지도교수를 정하기 전에 여러 상황에서 교수님을 만나보고 이야기 나눌 기회를 가진다면 가장 좋겠지요. 


4. 유학을 가는 것이 좋을까요? 국내 대학원에서 공부하는 것의 단점은 무엇인가요? 

이 부분은 정답도 없고 할 수 있는 이야기도 많은데 먼저 하고 싶은 말은 이것입니다 - '유학을 가는 것의 가장 큰 장점은 외국에서 살아보는 경험을 해본다는 것이고, 유학을 가는 것의 가장 큰 단점도 외국에서 살아보는 경험을 해본다는 것이다.' 제가 여기서 더 길게 말해도 장단점에 대해서는 아마도 일반론 수준에서 답을 하게될 것 같고, 유학 여부를 결정하는 것 뿐만 아니라 공부하는 과정에서 여러가지 결정을 해야할 때 꼭 기억했으면 하는 것이 있습니다. 대학원 공부, 그리고 그 이후의 삶을 학계에서 산다는 것은 결국은 짧지 않은 시간 동안 우직하게 걸어가야 하는 길입니다. 끊임없이 도전하는 것은 필요하지만, 심리적으로 안정된 상태에서 할 수 있도록 자신을 계속 돌아봐주었으면 합니다. 세계적으로 제일 좋은 대학에서 대가의 밑에서 공부하더라도 스스로 심리적으로 버틸 수 없을 정도로 밀어 부치면 결국은 무너지게 되고, 얻는 것보다 잃는 것이 많게 됩니다. 본인이 즐겁게 공부할 있는 환경을 가장 공부하기 좋은 환경입니다. 학부 때 교환학생을 한 학기 가보는 것도 외국에서 자신이 혼자서 잘 지낼 수 있는 사람인지 파악하는데 도움이 될 수 있습니다. 

5. 학계에 남는 것은 얼마나 어려운가요? 

냉정하게 이야기하자면, 수학 자체는 공정할 지 모르지만 학계는 그렇지 않습니다. 앞서 '수학을 못하는 사람은 없다, 사람마다 잘하는 수학이 다른 것이다'라고 했지만, 여러분을 평가하는 것은 수학 자체가 아니라 사람들입니다. 내가 잘하는, 내가 즐기는 수학이 많은 수학자들에게 관심 밖의 영역일 수도 있고, 그것이 학계 내에서의 취업에 어려움을 주기도 합니다. 이는 어느 정도는 감수해야하는 부분입니다. 사실 대부분의 사람들은 직업 수학자가 되면 어차피 수학 자체가 주는 즐거움만으로 살아갈 수는 없습니다. 그밖에 많은 책임과 역할이 주어지기 때문이지요. 대학에 오기 전에 수학 문제를 잘 풀던 것과 대학에 와서 수학을 전공할 때는 느낌이 다르다는 것을 느끼셨을텐데, 대학원생과 박사 후 연구원을 거치면서 연구에 집중하면서 가졌던 느낌과 교수가 되어 학계에서 다양한 역할을 할 때는 또 느낌이 많이 다릅니다. 연구 능력이 가장 중요하기는 하지만, 그러한 여러가지 역할들 안에서 균형을 잘 잡을 수 있는 사람으로 성장하는 과정이 필요한 것 같습니다. 이것은 저도 현재 겪고 있는 과정이라서 뭐라고 더 명확하게 이야기하기가 어렵네요.   

6. 학습과 연구는 다르다고 했는데, 그러면 연구를 잘 하려면 어떻게 해야하나요? 

그걸 제가 알면 얼마나 좋을까요? :) 하지만 제가 생각하는 몇 가지 답이 있기는 합니다. 연구를 잘 하려면 어떻게 해야한다에 답을 찾기 보다는 연구라는 것이 너무 막막한 시기에 그것을 극복하는 방법에 대해서 생각해보는 것이 더 생산적일 것 같습니다. 이 부분은 나중에 글을 수정하여 조금 더 내용을 추가하고 싶은데 일단은 짧게 다음 두 가지 메세지만 남겨두겠습니다. 
'모든 사람에게는 첫 번째 논문을 쓰는 것이 가장 어렵다'. 
"Behind the mountains, more mountains."

7. 저의 지도교수님이 제게 주신 조언 

Bill Thurston은 역사상 가장 위대한 수학자 중 한 명이었습니다. 일반적인 수학도가 필즈메달리스트를 보는 느낌이, 대부분의 필즈메달리스트가 Thurston을 바라보는 느낌과 비슷하다고들 할 정도였지요. 이런 분과 자주 만나며 다양한 조언을 듣고, 그 분이 수학을 대하는 태도를 옆에서 지켜볼 수 있었던 것은 정말 무엇과도 바꿀 수 없는 좋은 경험이었습니다. Thurston 선생님이 제가 대학원을 막 시작할 때 한 질문에 답변했던 내용을 여기에 옮겨서 공유하면서 이 페이지를 마무리하려고 합니다. 

질문: 페렐만이 기하화 추측을 해결하여 3차원 다양체 쪽은 큰 문제들이 남아있지 않고 앞으로는 4차원 다양체를 공부하는 것이 더 생산적일 것이라고 조언하시는 분들이 많이 있는데 어떻게 생각하시나요? 
답: As to what subject area will be productive: first I want to say you don't need to answer it now. It's a common mistake for graduate students to try to pick their specialty too early; at first, it's best to sample and learn about as much as you can. Later in your career, it will be much harder to fill in blank spaces in your knowledge. Mathematics is really all one unified subject, but the connections are often not obvious, and mathematicians are spread apart into different groups that think and work fairly independently. Therefore it really helps to have some idea of lots of fields, so you will later know what to study or who to talk to for your own work. 

What subject will be most productive? I think the right answer is that people don't really know. You can tell what fields have experienced a lot of recent activity and energy, but that's a lagging indicator of what will be productive in the future: people are social, and they often flock to fields that are currently popular, but the flocking effect accelerates depletion of new ideas that are ripe for harvest. People who know good ideas often harvest them first, before popularizing them. Answers to one question often lead to new questions, but you don't really know how productive these are until they're answered. A popular field might keep expanding intellectually, or it could collapse. Sparsely populated fields, and backwater fields, sometimes experience rapid growth, when someone finds new ideas or new connections. 

As to 3-manifolds: my view is that Perelman's solution to the geometrization conjecture makes little *practical* difference in diminishing the field, although it's an exciting development that makes a huge psychological difference. Most topologists in the field had already accepted that geometrization is a good working hypothesis long before Perelman, since geometrization was supported by ample evidence. Geometrization gives us a much better picture and much stronger structure than we have available for higher-dimensional manifolds, but there are still many questions that I find fascinating and exciting --- it's just that the nature of questions changes the more we know. 

Suppose someone had said in the age of Pythagoras that numbers are not a good subject to study, because most of the structure was already established, so perhaps it's best to study geometry? It's true that there's not much to discover about adding and multiplying integers or rational numbers, but we now know that there are many amazing ideas and phenomena concerning numbers that could not have been imagined 2000+ years ago. 

I don't mean to say you should select a specialty randomly. The most important thing is what is exciting to you, conditioned by the interests and expertise of people who might guide you. There are many more subgroups of mathematicians than there are professors in any one department, so that not all areas are easily to study in any one department (Cornell, in particular). 

질문: 나중에 공부하는 것은 어렵기 때문에 커리어 초반에 최대한 많은 것들을 공부해보려고 해야한다고 하셨는데, 공감은 가지만 공부할 것들이 너무 많아서 어떻게 해야할 지 사실 엄두가 나지 않습니다. 이 부분에 대해서 조언해주실 수 있나요? 
답: It's certainly true that there's a vast quantity of mathematics, so much that nobody could ever absorb it all in 500 years --- it's very daunting. 

I think the best strategy is to take an approach that is skeptical, but at the same time humble. The deep meanings are below the surface. When I listen to a lecture (or read an article or book), I try to follow what the speaker says, but it's often hopeless, for me as with other people, to keep up in a literal sense. I try to think what is the real meaning, how does the speaker really think about it and is there an easier way to understand it. In other words, I try to find shortcuts to keep up with the train of thought without digesting every word. It's a little like the game of go, where you sketch in shapes that you can fill in later when and if needed. So, I try be skeptical of what I read or here, and whether it captures the inner simplicity, but at the same time I try to stay open to the possibility that I myself may have missed the meaning. 

When you're a graduate student and when you're first encountering a range of subjects, I think it's good to just let yourself be exposed to things even if you feel bewildered by the material (although you should strive not to remain bewildered). Use your inner tape recorder, to try to remember even if you don't digest it at the time, because you can sooner or later go over it in your head, and often the real meaning and significance will come to you. My mental image is of a cow chewing her cud. 

For your graduate studies, you'll eventually need an area that you dig into very deeply, but you should also sketch out a much bigger territory so you'll be familiar enough with it to know where to probe when and if it becomes important or interesting for you.

2009.5.16. Bill Thurston 





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